Una solución a la cuadratura del circulo con regla y compás.

La cuadratura del circulo es uno de los tres problemas de la Grecia clásica, los otros dos son la duplicación del cubo y la trisección del ángulo, que los matemáticos griegos intentaron resolver utilizando únicamente la regla y el compás. Éste intento continuó, por matemáticos de todo el mundo hasta finales del siglo XIX.

Efectivamente, fue el matemático alemán Ferdinand Lindemann, quien en 1.882 demostró que el número PI era trascendente y por tanto el problema irresoluble.

A pesar de esto, se ha seguido buscando métodos geométricos de aproximación hasta nuestros días, incluso por matemáticos prestigiosos. Se busca una construcción sencilla, elegante y con el menor número de pasos.

Dado un círculo , C1, de radio R1=1, un cuadrado inscrito en él, de lado y otro círculo, C2 inscrito en dicho cuadrado y de radio vamos a demostrar que existe un circulo, C3, entre C1 y C2, cuya superficie es igual a la del cuadrado dado y cuyo radio, R3, vamos a determinar.

a) Desde el centro, O, trazamos un ángulo de 30º que determina los puntos de corte A, B, C, D, con los círculos C2 y C1 respectivamente y teniendo al radio OQ como bisectriz.

b) Trazamos los segmentos AD y BC, y donde se cortan determina el punto P sobre el radio OQ. El Segmento OP, es el radio R3 del circulo C3, buscado.

Determinación del segmento OP = R3

Aplicando el teorema de los senos para la resolución de triángulos oblicuángulos y considerando que sen 123º = sen 57º por ser ángulos complementarios y OD = 1

De la hipótesis inicial tenemos: superficie del cuadrado de lado igual superficie del círculo de radio R3.

Representamos esta igualdad geométricamente, aplicando el teorema de proporcionalidad en el triángulo rectángulo NEF:

Con el segmento obtenido, y trazando perpendiculares en E y F, construimos un cuadrado, y desde su centro, un círculo de radio R1 = 1

Es la cuadratura del círculo con regla y compás.

Demostración de la determinación geométrica del punto P y que cumple: OP = 1 para

Dado un círculo, C3, de radio R3, hallar el lado, L, de un cuadrado cuya superficie sea igual a la del círculo dado.

Trazamos un ángulo de 30º, con vértice en O, teniendo a R3 como bisectriz; y el punto de corte P.

Con vértice en P, trazamos un ángulo de 123º, determinando los puntos de corte A y D que nos dan los radios OA y OD de las circunferencias C2 y C1 respectivamente.

Proyectando OP hasta su corte con C1 nos da el punto Q que uniéndolo con el punto R nos da el lado, L. buscado.