Una solución a la cuadratura del circulo con regla y compás.

La cuadratura del circulo es uno de los tres problemas de la Grecia clásica, los otros dos son la duplicación del cubo y la trisección del ángulo, que los matemáticos griegos intentaron resolver utilizando únicamente la regla y el compás. Éste intento continuó, por matemáticos de todo el mundo hasta finales del siglo XIX.

Efectivamente, fue el matemático alemán Ferdinand Lindemann, quien en 1.882 demostró que el número PI era trascendente y por tanto el problema irresoluble.

A pesar de esto, se ha seguido buscando métodos geométricos de aproximación hasta nuestros días, incluso por matemáticos prestigiosos. Se busca una construcción sencilla, elegante y con el menor número de pasos.

Dado un círculo, de radio R1, un cuadrado inscrito en él de lado L, y otro círculo C2 inscrito en dicho cuadrado y de radio R2, vamos a demostrar que existe un círculo, C3, entre C1 y C2, cuya superficie es igual a la del cuadrado dado y cuyo radio, R3 vamos a determinar.

a) Desde el centro, O, trazamos un ángulo de 30º que determina los puntos de corte A, B, C, D, con los círculos C2 y C1 y teniendo al radio OQ como bisectriz.

b) Trazamos los segmentos AD y BC, y donde se cortan determina el punto P sobre el radio OQ. El segmento OP, es el radio R3 del círculo C3, buscado.

Ángulos que determina la figura

Comprobación numérica que no resta valor a la solución geométrica

Para un círculo de radio R1 = 1 que determina un cuadrado inscrito de lado y superficie y aplicando el teorema de los senos para la resolución de triángulos oblicuángulos tenemos:


 

 
     
     
     
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